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Border-radius é utilizado para arredondar os cantos/quinas dos elementos HTML:

border-radius: 5px; /* os cantos desse elemento estão a se curvar em um raio de 5px */

Isso é equivalente á:

border-radius: 5px 5px 5px 5px;

Com a propriedade border-radius podemos criar formas completamente circulares:

border-radius: 40px; /* os cantos desse elemento vão se curvar em um raio de 40px */

Outros exemplos de border-radius usando estilos de bordas diferentes:

border-radius: 10px; border-style: dotted;
border-radius: 10px; border-style: dashed;
border-radius: 10px; border-style: outset;
border-radius: 10px; border-style: double;